События игры разворачиваются в будущем, где человечество, предположительно, вымерло. Всё, что осталось от людей — древние развалины городов, технологические артефакты вроде роботов да огромные подземные города, созданные на случай глобальной катастрофы. В одном из таких «убежищ», Городе-крепости 99, и развивается сюжет Stray.

Главный герой игры — обычный бродячий кот, который вместе с семьёй путешествует по древним развалинам. Нам почти не показывают их быт: в стартовом ролике животные пережидают ливень и отправляются дальше, но наш герой случайно падает в самый низ руин. Там всё завалено мусором, царит кромешная тьма и живут агрессивные существа, нападающие огромными группами. Едва выбравшись живым, протагонист встречает маленького робота, Б-12. Последнему нужна помощь героя для того, чтобы выполнить свое предназначение. Ну, а хвостатый герой попросту хочет выбраться на поверхность.

Собственно, это вся завязка: простая, но вполне рабочая. Двое непохожих друг на друга героев вынужденно объединяются ради достижения собственных целей — троп избитый, но вполне понятный.